[확률과 통계]#2 조합, nCr

 

[확률과 통계]#2 조합, nCr

 

확률과 통계 과목의 "순열과 조합"에 대해 공부합니다.

 

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Overview

 

1. 조합과 순열의 차이점
2. 조합의 성질
3. 같은 것이 있는 순열 vs 조합
4. 중복 조합

 

조합과 순열의 차이점

1. 조합?

 

 

Details

 

• 확률에서 조합이란, '서로 다른 n개 중에서 순서에 상관없이 r개를 선택하는 것'입니다.
• 여기서 우리가 주목할 점은 "순서"입니다.
• 반장, 부반장, 그리고 주번 자리에 각각 영수, 철수, 그리고 민수를 앉히는 경우의 수는 3!입니다. 
• 여기서 조건을 바꿔보죠. 반 대표 3명을 세 사람 중에서 뽑는 경우의 수는?  1입니다.
• 왜 다를까요?  "순서"가 결과에 영향을 미치는가? 바로 이 점에서 "순열"과 "조합"의 차이점을 찾을 수 있죠.

 

순열 : 서로 다른 n개 중 r개를 뽑아서 주어진 순서대로 나열하는 것
조합 : 서로 다른 n개 중 r개를 뽑는 것

 

 

• "순서"를 고려하지 않는 nCr(조합)의 결과는 간단하게 "nPr / r!"로 얻을 수 있습니다.
• 복잡하게 생각할 필요 없이, "순서"의 부재는 "중복"을 야기하므로, 순서가 존재하는 경우의 수를 중복되는 경우의 수로 나누어 주면 되는 겁니다!

 

조합의 성질

 

1. 조합의 성질

 

1. 만약, n = 0이라면, nCr = 0입니다.
2. 만약, k = 0이라면, nCr = 1입니다.
3. C( n, k ) = C( n-1, k-1 ) + C( n, n-k )입니다.
4. C( n, k ) = C( n, n-k )입니다.

 

같은 것이 있는 순열 vs 조합

 

[확률과 통계]#1 순열, nPr

 

1. 같은 것이 있는 순열

 

Details

 

• 같은 것이 있는 순열은 순열의 결과 값을 "중복되는 경우의 수"로 나누어 주었습니다!
• 결론부터 말하자면, 같은 것이 있는 순열과 조합은 동일한 개념입니다!

 

예제

 

문제) A카드 3장, 그리고 B카드 2장을 배열하는 방법의 수를 구하여라

 

• 전형적인 같은 것이 있는 순열 문제입니다.
• 우리는 위 같은 문제를 "순열 / 중복", 즉 같은 것이 있는 순열 공식을 활용하여 문제를 풀었습니다.
• 이때, 같은 것이 있는 순열 대신에 "조합"을 활용해 풀이해 보겠습니다.
• 5자리 위치에 3장의 A카드가 들어갈 경우의 수는 5C3입니다.
• 그리고, 나머지 2자리 위치에 B카드가 들어갈 경우의 수는 2C2입니다. 
• 그렇다면, 식으로 작성해 보죠. 5C3 x 2C2 = 5C3 = 5! / 3!(5-3)!입니다.
• 같은 것이 있는 순열로 풀이했던 식과 동일합니다!

 

중복 조합

1. 중복 조합?

 

Details

 

• 중복 조합은 한 가지 종류의 무언가를 뽑는 횟수가 제한되지 않는 조합을 의미합니다.
• 다시 말해, 중복 조합은 "서로 다른 n개에서 중복을 허락하는 r개를 택하는 조합"입니다.
• 더불어, "nHr(중복 조합) = n+r-1Cr"입니다. 
• 중복 조합을 이해하는데 두 가지 방법이 있습니다.
• 하나는 { a+0, b+1 } 방법, 그리고 칸막이 방법입니다.
• 자세한 설명을 위해 아래 예제를 살펴보겠습니다.

 

예제

 

문제 1) 1번 카드, 2번 카드, 그리고 3번 카드 중에서 2장을 중복해서 뽑는 방법의 수를 구하여라.

 

• 우선 모든 경우의 수를 작성해봅니다. {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
• 이때, { a, b }라고 가정하고, 모든 경우의 수를 { a + 0, b + 1 }로 바꿔보겠습니다.
• {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}가 되겠죠.
• 자, 바꾼 경우의 수들을 살펴보니 마치 "1번, 2번, 3번, 그리고 4번 카드를 중복 없이 2장을 뽑은 경우의 수"가 되었죠!
• 결과적으로, "3H2 == 4C2"이며, 앞서 살펴본 "nHr == n+r-1Cr"을 증명하고 있습니다!
• 여기서 헷갈리지 말아야 할 것은 "경우의 수", 즉 결과 값이 같다는 것이지, 각각의 경우들이 동일한 것이 아닙니다!

 

문제 2) 서로 같은 구슬 4개를 A 바구니, B바구니, 그리고 C바구니에 중복해서 넣는 방법의 수를 구하여라.

 

• 먼저, A바구니, B바구니, 그리고 C바구니를 구분할 수 있는 가상의 칸막이 자리 2칸이 있다고 가정합시다.
• 총구슬의 개수 4개의 자리와 칸막이 2칸의 자리 = 총 6개의 자리일 때, 우리는 구슬의 위치 대신 칸막이 2개의 자리를 고려해보죠. "6C2"그렇다면, 위에서 알아본 중복 조합의 공식을 활용해보겠습니다. "3H4 == 6C4"조합의 성질에서 배웠듯이, "nCr = nCn-r", 즉 "3H4 == 6C2"가 됩니다!