[BOJ 알고리즘, C++]#1629_곱셈, 거듭 제곱의 특성, 지수 법칙

#1. 문제

https://www.acmicpc.net/problem/1629

 

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#2. 풀이

 

1. 지수 법칙

(A^n)^m = A^(m*n)

 

2. 거듭제곱의 특징

1. n이 짝수일 경우: Aⁿ = (A^(n/2))²
2. n이 홀수일 경우: Aⁿ = A * (A^(n-1))

 

3. 거듭 제곱의 특징을 활용하여 분할-정복 설계!

1. 먼저, 분할-정복을 설계합니다. B를 2로 나눈 값을 다시 B로 설정하여 분할 작업을 먼저 수행합니다. 분할 작업 수행을 위해 기저 조건으로 B가 1 혹은 0이 되었을 경우 결과 값을 반환하는 것만 설정해 주고, 기본적인 종료 조건보다 재귀 호출을 먼저 작성해 줍니다.
2. 다음으로, 재귀호출의 반환 값(현재 B가 1/2일 때, 결과 값)을 제곱해 주고 그 결과 값을 C로 나눈 나머지 값을 먼저 구해줍니다.
3. 그리고, B가 짝수일 경우에 위 결과 값을 그대로 반환합니다. 반대로, 홀수일 경우, 위 결과 값에 A를 추가적으로 곱해주고 다시 C로 나눈 나머지 값을 반환합니다.

 

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#3. 코드

/*
    @링크: https://www.acmicpc.net/problem/1629
*   @문제: A를 B번 곱한 수를 C로 나눈 너머지
*   @설명
        1. 지수 법칙: (A^n)^m = A^(m*n)
        2. 거듭 제곱의 특성, 아니 이걸 어떻게 알아...
        - B가 짝수일 경우, Aⁿ = (A^(N/2))²
        - B가 홀수일 경우, Aⁿ = A * (A^(B-1))
        3. 예제, A = 3, B = 13, C = 17
        1.B가 홀수일 경우
            3^13 = 3 * (3^(13-1))
            3^13 = 3 * (3^(13-1)) = 3 * (3^12)
            B가 짝수로 바뀌었다.
            3^13 = 3 * (3^(13-1)) = 3 * (3^12) = 3 * (3^(12/2)^2) = 3 * 3^6 * 3^6
                                                    |    분할    |
            결과적으로, B를 2로 나눈 값으로 분할 및 재귀 호출 진행 가능하다. 
        2.B가 짝수일 경우
            3^12 = 3^(12/2)^2
            3^12 = 3^(12/2)^2 = 3^6 * 3^6
                  |   분할   |
            역시, B를 2로 나눈 값으로 분할 및 재귀 호출 진행이 가능해 보인다.
        3. 기저 조건 설정, 하위 문제에서 B가 1이되면 바로 A&C를 반환하도록 설정
        4. 재귀 호출 수행하고, 그 반환 값은 현재 B값을 2로 나눈값으로 구한 한 쪽의 값(만약, B가 6이라면, 하위 문제로부터 전달 받은 값은 3^6이다.)
           따라서, 전달 받은 값이 tmp라면, (tmp * tmp)%C 해주고, B가 짝수라면 그대로 반환, 반대로 홀수라면 A를 추가적으로 곱해주어 반환한다.
*/


#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll A, B, C;

ll solve(ll a, ll b, ll c)
{
    if(b==0) return 1;
    if(b==1) return a%c;

    ll tmp = solve(a, b/2, c);
    tmp = (tmp*tmp)%c; // 중간 값 계산 중요! 홀수의 경우 (a*(tmp*tmp))%c 는 tmp가 충분히 큰 상태에서 오버플로우 발생 위험, 따라서 미리 c로 모듈러 연산 수행

    //@짝수
    if(b%2 == 0) return tmp;
    else return (a*tmp)%c;
}

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> A >> B >> C;

    cout << solve(A, B, C);

    return 0;
}

 

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